SAYI SİSTEMLERİ

Sayı Sistemleri

Günlük hayatımızda kullandığımız sayı sistemi 10 tabanına göredir. Yani 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 rakamlarını içerir. Bu sayı sistemine "Decimal sayı" sistemi denir.
Dijital kompüterlerinde ikili (Binary), sekizli (Oktal number) ve onalltlı (Hexadecimal) sayı sistemleri kullanılır. Bunların tabanları binary 'de 2, oktal 'da 8 ve hexadecimal 'de 16 'dır.

Dijital kompüter devrelerinin, çalışma prensiplerini anlayabilmek için mutlaka bu kompüterlerde kullanılan sayı sistemlerini de öğrenmek gerekir.

Decimal Sayı Sistemi

Decimal sayı sistemi matematikte kullandığımız sayı sistemidir. Bu sistemdeki rakamlar şunlardır. "0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9". Bu sistemin tabanı 10 dur. Her sayı "dijit (digit)" olarak adlandırılır.
10 tabanından oluşan 061 sayısını şöyle yasabiliriz.

060 = 0*10² + 6*10¹ + 1*10⁰ = 0+60+1

613 sayısı ise;
613 = 6*10² + 1*10¹ + 3*10⁰ = 600+10+3 şeklinde yazılır.

Buna göre bir decimal sayıyı, genel olarak şu denklemle ifade edebiliriz.

N = d_n*Rⁿ + ....................... + d₃*R³ + d₂*R² + d₁*R¹ + d₀*R⁰

Burada; d_n...........................d⁰ = Sayı değerlerini,
R = taban değerini (decimal için 10 'dur.) ifade eder.

2368 sayısını decimal olarak ifade edelim:

N = d₃*R³ + d₂*R² + d₁*R¹ + d₀*R⁰

2368 = 2*10³ + 3*10² + 6*10¹ + 8*10⁰

2368 = 2000 + 300 + 60 + 8

R=10, d₃=2, d₂=3, d₁=6, d₀=8

Decimal Sayıların Binary Sistemine Çevrilmesi

Decimal sayıları, bölme metodu ile ikili (binary) sisteme çevirilir. Çeviri işleminin nasıl yapıldığını aşağıdaki örnekte görebilirsiniz. Binary sisteme çevirilmek istenen sayı on tabanından 26 olsun..(26)₁₀ ...

Bölünen		Bölüm		Kalan
26/2	=	13	+	0	LSD* en son yazılan sayı
13/2	=	6	+	1
6/2	=	3	+	0
3/2	=	1	+	1
1/2	=	0	+	1	MSD* ilk yazılan sayı

Elde edilen sonuçlardan, binary sayısını yazabilmek için, son işlemden yukarıya doğru bulunan değerler yazılır. Sonuç = (26)₁₀ = (11010)₂ olarak bulunur.

LSD (Least significant digit) : En küçük değerlikli sayı.
MSD (Most significant digit) : En büyük değerlikli sayı.

Binary Sayı Sistemi

Bu sistemin tabanı iki(2) 'dir. "d" 0 ve 1 değerine sahiptir. 2 'nin kuvvetleri hesaplanarak 0 ve 1 ile çarpılır. Böylece sayı binary sistemine göre ifade edilmiş olur.

100 = 1	20 = 1
101 = 10	21 = 2
102 = 100	22 = 4
103 = 1000	23 = 8
104 = 10000	24 = 16

Buna göre ikili sistemin denklemi şöyle yazılabilir;

N = .................... + 2⁴d⁴ + 2³d³ + 2²d² + 2¹d¹ + 2⁰d⁰ veya

N = .................... + 16d⁴ + 8d³ + 4d² + 2d¹ + d⁰ olur.

* Binary sayı sistemine göre ifade edilmiş olan 1001 sayısını decimal olarak bulunuz.

1	0	0	1
1*23	0*22	0*21	1*20

N = 1*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 1*2⁰

N = 8+0+0+1

1001₂ = 9₁₀

Tablo 1.1 'de 0 'dan 9 'a kadar olan sayıları ikili sistemdeki ifadeleri görülmektedir.

Decimal	Binary
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	0 1 (1*20) 10 (1*21 + 0*20) 11 (1*21 + 1*20) 100 (1*22 + 0*21 + 0*20) 101 (1*22 + 0*21 + 1*20) 110 (1*22 + 1*21 + 0*20) 111 (1*22 + 1*21 + 1*20) 1000 (1*23 + 0*22 + 0*21 + 0*20) 1001 (1*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20)

Tablo 1.1

Görüldüğü gibi binary sistemde bir sayı (digit), 0 veya 1 ile ifade edilir. Bilgisayar dilinde 1 açık, 0 kapalı olarak kullanılır.

* 10010 sayısının desimal değerini bulalım.

N = 1*2⁴ + 0*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 0*2⁰

N = 16 + 0 + 0 + 2 + 0

N = 18

Desimal	Binary
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15	0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Not: Yukarıdaki tabloda görüldüğü gibi ilk 16 sayı (digit) için 4 basamak, yani 4 "bit" gereklidir.

Binary Sayıların Decimal Sistemine Çevrilmesi

Binary sisteminden (11010)₂ sayısını, decimal 'e çevirecek olursak;

N = 1*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 0*2⁰
= 16+8+0+2+0
= (26)₁₀ olarak bulunur.

Ondalık Binary Sayıları

Ondalık decimal sayılarını genel olarak şu denklemle ifade edilir.

N = d₁*R^-1 + d₂*R^-2 + d₃*R^-3 ............................ d_n*R^-n

Buna göre 0,725 ondalık decimal sayısı;

N = 7*10^-1 + 2*10^-2 + 5*10^-3
N = 0,7 + 0,02 + 0,005 şeklinde yazılabilir.

Şimdi de 0,1011 binary ondalık sayısını decimal 'e çevirelim.

1*2^-1 + 0*2^-2 + 1*2^-3 + 1*2^-4

2^-1 = 1/2¹ = 0,5
2^-2 = 1/2² = 0,25
2^-3 = 1/2³ = 0,125
2^-4 = 1/2⁴ = 0,0625

Buna göre; (0,1011)₂ = 1*2^-1 + 0*2^-2 + 1*2^-3 + 1*2^-4
= 1*0,5 + 0*0,25 + 1*0,125 + 1*0,0625
= 0,5 + 0 + 0,125 + 0,0625
= (0,6875)₁₀ olur.

Ondalıklı Decimal Sayıların Binary 'e (İkili Sisteme) Çevrilmesi

Ondalık decimal sayılar, binary sistemine çevrilirken "çarpım 2" yöntemi kullanılır.
(0,57251)₁₀ decimal sayısını binary sayı sistemine çevirelim.

0,57251 * 2 = 1,14502
0,14502 * 2 = 0,29004
0,29004 * 2 = 0,58008
0,58008 * 2 = 1,16016
0,16016 * 2 = 0,32032

Sonuç: (0,57251)₁₀ = (0,10010............)₂ dir.

Sağlaması: (0,10010)₂ = 1*2^-1 + 0,2^-2 + 0*2^-3 + 1*2^-4 + 0*2^-5

= 0,5 + 0,0625
= (0,5625)₁₀

Görüldüğü gibi 0,57251 sayısı, sağlama sonunda 0,5625 çıkmaktadır. İşlem sayısı çoğaltılır ve sonuçta 1 tam sayısı elde edilirse gerçek sayı bulunur. Elektronik hesap makinaları bu sisteme göre çalışır. Geliştirilmiş makinalarda işlem sayısı fazla olacağından, hata miktarıda daha aza indirilmiş olur.Bundan dolayı markaları farklı hesap makinaları aynı işlem için farklı sonuçlar verebilr.

Sonucu tam olan birbaşka işlem yapalım..
(0,65625) sayısını binary sayı sistemine çevirelim.

0,65625 * 2 = 1,31250
0,31250 * 2 = 0,62500
0,62500 * 2 = 1,25000
0,25000 * 2 = 0,50000
0,50000 * 2 = 1,0000

Sonuç: (0,10101)₂ dir

Sonuçda görüldüğü gibi 1 tam sayısı elde edilmiş oldu..

Sağlaması: (0,10101) = 1*2^-1 + 0*2^-2 + 1*2^-3 + 0*2^-4 + 1*2^-5

= 0,5 + 0,125 + 0,03125
= (0,65625)₁₀

Tam ve Ondalıklı Binary Sayıların Decimal 'e Çevrilmesi

Tam ve ondalıklı sayıları beraber olan binary sayısının denklemini şöyle ifade edebiliriz.

N = 2⁴d₄ + 2³d₃ + 2²d₂ + 2¹d₁ + 2⁰d₀ + d₁R^-1 + d₂R^-2 + d₃R^-3 + ......................d_nR^-n veya

N = 16d₄ + 8d₃ + 4d₂ + 2d₁ + d₀ + d₁R^-1 + d₂R^-2 + d₃R^-3 + ......................d_nR^-n

(1010,10110)₂ sayısını decimal sayı sistemine çevirelim.

N = 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 0*2⁰ + 1*2^-1 + 0*2^-2 + 1*2^-3 + 1*2^-4 + 0*2^-5

N = 8+2+0,5+0,125+0,0625

N = (10,6875)₁₀

(1010,10110)₂ = (10,6875)₁₀ olur.

Tam ve Ondalıklı Decimal Sayıların Binary Sayı Sistemine Çevrilmesi

Decimal sayıları binary 'e çeviriken izlenecek yol bölme ve çarpma işlemidir. Virgülden öncesi ve sonrası ayrı ayrı işleme tabi tutulur. Virgülden önceki kısım bölme işlemine tabi tutulurken virgülden sonrası için çarpma işlemi yapılır.

(68,1875)₁₀ decimal sayısını binary sayı sisteminde ifade edelim.

68 / 2 = 34 Kalan 0
34 / 2 = 17 Kalan 0
17 / 2 = 8 Kalan 1
8 / 2 = 4 Kalan 0
4 / 2 = 2 Kalan 0
2 / 2 = 1 Kalan 0

Buna göre tam sayının yanıtı = (1000100)₂ dır.

0,1875 * 2 = 0,3750
0,3750 * 2 = 0,7500
0,7500 * 2 = 1,5000
0,5000 * 2 = 1,0000

Buna göre ondalık kısımda şu şekilde oluşmuş olur = (0011)₂

Sonuç olarak = (1000100,0011)₂ bulunmuş olur.

Octal Sayı Sistemi

Sekizli (Octal) sayı sisteminin tabanı 8 'dir. Bu sistemde 0,1,2,3,4,5,6,7 sayıları kullanılır. 8 sayısı kullanılmaz, eğer 8 sayısı kullanılsaydı o zaman digit sayısı 9 olurdu.
Sekiz tabanlı sayı dizisini aşağıdaki formülle ifade edebiliriz.

N = d_n*Rⁿ + ....... d₂*R² + d₁*R¹ + d₀*R⁰

= d_n*8ⁿ + ....... d₂*8² + d₁*8¹ + d₀*8⁰

d_n = 0,1,2,3,4,5,6,7 sayılarıdır.

Octal Sisteminin Decimale Çevrilmesi

(36)₈ octal sayısını decimale çevirelim.

(36)₈ = 3*8¹ + 6*8⁰

= 3*8 + 6*1

= 24 + 6

= (30)₁₀

Görüldüğü gibi çevirme çarpma işlemi yardımıyla gerçekleştrilir. Binary 'nin decimal 'e çevrilmesi gibi.

Decimal 101 100	Octal 81 80		Decimal 101 100	Octal 81 80
00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33	00 01 02 03 04 05 06 07 10 11 12 13 14 15 16 17 20 21 22 23 24 25 26 27 30 31 32 33 34 35 36 37 40 41		34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64	42 43 44 45 46 47 50 51 52 53 54 55 56 57 60 61 62 63 64 65 66 67 70 71 72 73 74 75 76 77 100

Ondalık Oktal Sayıların Decimal 'e Çevrilmesi

Ondalık oktal sayıları decimal 'e çeviriken kullanılacak formül.

N = d₁*8^-1 + d₂*8^-2 + d₃*8^-3 + ...................

8^-1 = 1/8 = 0,125
8^-2 = 1/8² = 1/64 = 0,015625
8^-3 = 1/8³ = 1/512 = 0,0019531

(0,21)₈ = 2*8^-1 + 1*8^-2

= 2*0,125 + 1*0,015625

= 0,250 + 0,015625

= (0,265625)₁₀

Decimal Sayıların Octal Sayı Sistemine Çevrilmesi

Decimal sayıların octal sayı sistemine çevrilmesi, decimal sayı sisteminin binary sayı sistemine çevrilmesi gibi olur.

Farklı olarak burada, decimal sayı sekizli sisteme çevrildiği için bölme 2 metodu yerine 8 metodu kullanılır.

(127)₁₀ = (?)₈

127 / 8 = 15 + 7
15 / 8 = 1 + 7
1 / 8 = 0 + 1

(127)₁₀ = (177)₈

Sağlamasınıda yapacak olursak.

(177)₈ = 1*8² + 7*8¹ + 7*8⁰

= 64 + 56 + 7
= (127)₁₀

Ondalık Decimal Sayıların Oktal Sayı Sistemine Çevrilmesi

Ondalık decimal sayıları sekizli sayı sitemine çevirirken çarpma metodu kullanılır.

(0,1875)₁₀ = (?)₈

0,1875 * 8 = 1,50000
0,50000 * 8 = 4,0000

(0,1875)₁₀ = (0,14)₈

(38,21875)₁₀ = (?)₈

Burada yine, tam sayı ayrı, ondalık sayı ayrı bulunur. Bulunan sonuşlar birleştirilerek ondalıklı decimal sayının, octal karşılığı bulunmuş olur.

1. Tam sayı octal karşılığı bölme metodu kullanılarak bulunur.

38/8 = 4 +6
4/8 = 0 + 4

46

2. Ondalık sayının octal karşılığı çarpım 8 metodu ile bulunur.

0,21875 * 8 = 1,75000
0,75000 * 8 = 6,00000

16

Sonuç :

(38)₁₀ = (46)₈
(0,21875)₁₀ = (16)₈
(38,21875)₁₀ = (46,16)₈

Hexadecimal Sayı Sistemi

Hexadecimal sistemin tabanı 16 dır. Bu sistemdeki sayı sınırı 0-15 arasındadır. 0 'dan 9 'a kadar olan sayılar aynen kullanılır.10,11,12,13,14,15 sayıları ise birer harf sembolü ile ifade edilir.

Decimal Sayılar	Hexadecimal Sayılar
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Hexadecimal Sayıların Decimal 'e Çevrilmesi Bu sayı sistemindeki kuvvet dizilişi, sağdan sola doğrudur. 160, 161, 162 ........16n (26)16 = (?)10 = 2*161 + 6*160 = 2*16 + 6*1 = 32 + 6 = (38)10 (26)16 = (38)10 olur.

Decimal	Hexadecimal		Decimal	Hexadecimal
0 1 2 . . 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 . . 152 153 154	0 1 2 . . 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F 20 . . 98 99 9A		155 156 157 158 159 160 161 162 . . . 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 . . 511 512 . . 4095 4096 . . . 65535	9B 9C 9D 9E .9F A0 A1 A2 . . . F8 F9 FA FB FC FD FE FF 100 101 102 . . 1FF 200 . . FFF 1000 . . . FFFF

Tablo 1.3 - 0 - FFFF₁₆ arasındaki hexadecimal sayıların decimal karşılıkları.

** (2B)₁₆ = (?)₁₀

= 2*16¹ + B*16⁰
= 2*16¹ + 11*16⁰
= 2*16 + 11*1
= 32 + 11
= 43
= (2B)₁₆ = (43)₁₀

** (A3)₁₆ = (?)₁₀

= A*16¹ + 3*16⁰
= 10*16 + 3*1
= 160 + 3
= 163
= (A3)₁₆ = (163)₁₀

** (2FF)₁₆ = (?)₁₀

= 2*16² + F*16¹ + F*16⁰
= 2*256 + 15*16 + 15*1
= 512 + 240 + 15
=767
= (2FF)₁₆ = (767)₁₀

** (FFF)₁₆ = (?)₁₀

= F*16² + F*16¹ + F*16⁰= 15*256 + 15*16 + 15*1
= 3840 + 240 + 15
= 4095
= (FFF)₁₆ = (4095)₁₀

Ondalık Hexadecimal Sayıların Decimal 'e Çevrilmesi

** (0,8)₁₆ = (?)₁₀

= 8*16^-1= 8 * 1/16
= 0,5
= (0,8)₁₆ = (0,5)₁₀

** (0,48)₁₆ = (?)₁₀

= 4*16^-1 + 8*16^-2
= 4 * 1/16 + 8 * 1/256
= 4/16 + 8/256
= 0,25 + 0,03125
= 0,28125
= (0,48)₁₆ = (0,28125)₁₀

Decimal Sayıların Hexadecimal 'e Çevrilmesi

Decimal sayılar bölme metodu ile hexadecimal 'e çevrilirler.

** (142)₁₀ = (?)₁₆

= 142 / 16 = 8 + 14
= 8 / 16 = 0 + 8

(142)₁₀ = (8E)₁₆

sağlamasını yaparsak;

= 8*16¹ + E*16⁰
= 128 + 14
= 142

** (247)₁₀ = (?)₁₆

= 247 / 16 = 15 + 7
= 15 / 16 = 0 + 15

(247)₁₀ = (F7)₁₆

Ondalık Decimal Sayıların Hexadecimal 'e Çevrilmesi

** (0,1875)₁₀ = (?)₁₆

= 0,1875 * 16
= 3

(0,1875)₁₀ = (0,3)₁₆

Binary - Octal - Hexadecimal Sayı Sistemlerinin Çevirimleri

Binary - Octal Çevirmeleri

Octal sayıların binary formu ile ifade edilmesi, basit bir teknoloji gerektirdiği için tercih edilir.

(275)₈ = (?)₂

1. 275 / 2 = 136 + 12. 136 / 2 = 57 + 03. 57 / 2 = 27 + 14. 27 / 2 = 13 + 15. 13 / 2 = 5 + 16. 5 / 2 = 2 + 17. 2 / 2 = 1 + 08. 1 / 2 = 0 + 1

(275)₈ = (010111101)₂

Yapılan işlemin açıklamasını yapacak olursak;

1. 275 / 2 = 136 + 1 şöyle bulunur.

15 Sayısını 2 ye bölerken 15 / 2 = 7 + 1 yazamayız. Bu sonuç, 10 tabanlı sayı sistemine göre doğrudur. Fakat 8 tabanına, yani octal sayı sisteminde 15 'in decimal karşılığı Tablo 1.2 den de görüldüğü gibi 13 tür. Dolayısıyla 15 / 2 yi 13 / 2.olarak düşünmemiz gerekir. Buna göre 13/2 = 6 + 1 olur. Sonuç olarak 275 / 2 = 136 + 1 eder.

2. 136 / 2 = 57 + 0

13 Octal sayısının decimal karşılığı 11 dir. Bundan dolayı 13 / 2 bölümünü 11 / 2 olarak düşünmemiz gerekir ve, 11 / 2 = 5 + 1 olur. 16 / 2 bölümü ise 14 / 2 olarak düşünülmeli ve 136 / 2 işleminin sonucu 57 + 0 bulunmalıdır.

Yapılan açıklamalar diyer maddelerde de uygulanırsa sonuca ulaşılır.

NOT: Yani yapılan bölümlerde, sayı sisteminin tabanı 8 olduğuna göre 0,1,2,3,4,5,6,7 sayılarının 2 ye bölümü normal yapılır. Bundan sonraki sayılar için tablo 1.2 den bölünecek sayının decimal karşılığı bakılarak bulunan sayıyı 2 ye bölmemeiz gerekmektedir.

Sonuç olarak (275)₈ octal sayısını binary formu ile şu şekilde ifade edebiliriz.

(275)8=	010	111	101
	Binary için	Binary için	Binary için
	2	7	5

Böylece her octal sayı binary olarak ifade edilmiş olur. Baştaki "0" sayı gruplarını 3 'e tamalamak için konulmuştur. Sekiz tabanlı olan bir sayı, 0-7 digitleri kapsar. Bu da bize, sekiz tabanlı her sayının binary formunda en fazla 3 bit olacağını gösterir.

(3567)₈ = (?)₂

(3)₈ = (011)₂
(5)₈ = (101)₂
(6)₈ = (110)₂
(7)₈ = (111)₂

(3567)₈ = (011101110111)₂

Binary den octal sayı sisteminede aynı şekilde çevirim yapılabilir.

(101110110)₂ = (?)₈

(101)₂ = (5)₈
(110)₂ = (6)₈
(110)₂ = (6)₈

(101110110)₂ = (566)₈

Binary Sayı Sistemini Hexadecimal 'e Çevrilmesi

Dört basamaklı binary sayıları, hexadecimal olarak ifade edilebilir. Dört bitli binary sayıların listesi Tablo 1.4 de görülmektedir. Sayılar binary 'den hexadecimale çevrilirken sağdan sola doğru dörder basamak olmak üzere gruplandırılır. Çünkü hexadecimal sayı istemini tabanı 16 dır ve binary sayı sisteminde 0-15 sayıları, 4 bit ile ifade edilebilmektedir.

Binary	Hexadecimal
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Tablo 1.4 - Binary - Hexadecimal karşılıkları

** (011011110101)₂ = (?)₁₆

(0110)₂ = (6)₁₆
(1111)₂ = (F)₁₆
(0101)₂ = (5)₁₆

(011011110101)₂ = (6F5)₁₆

** (1A6)₁₆ = (?)₂

(1)₁₆ = (0001)₂
(A)₁₆ = (1010)₂
(6)₁₆ = (0110)₂

(1A6)₁₆ = (000110100110)